統計学：階乗・順序・組合せ　数学 - まぬねこの足跡。。。

階乗『』
順列【Permutation】『』
組合せ【Combination】『』
二項分布について
- 二項定理
- 二項分布を二項定理で考える

階乗『 $n!$ 』

$n!=n(n-1)\cdots3×2×1$ ･･･nの階乗

※ $0!=1$ と定義

順列【Permutation】『 ${}_n \mathrm{P}_k$ 』

※ $n$ 枚から $k$ 枚を取出し、１列並べるときの並べ方。

$\displaystyle {}_n \mathrm{P}_k=\frac{n!}{(n-k)!}$

＜式＞
$\begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{P}_k&=&n(n-1)×\cdots×(n-k+1) \\ &=&\frac{n!}{(n-k)!}　通り \end{eqnarray*}$

組合せ【Combination】『 ${}_n \mathrm{C}_k$ 』

※ $n$ 枚から $k$ 枚を取出し、順番を気にせず組合せのみの並べ方。

$\displaystyle{}_n \mathrm{P}_k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

＜式＞
$\begin{eqnarray*} {}_n \mathrm{P}_k&=&{}_n \mathrm{C}_k×k!　\\ ⇒{}_n \mathrm{C}_k&=&\frac{{}_n \mathrm{P}_k}{k!}　\\ &=&\frac{n!}{k!(n-k)!}　通り \end{eqnarray*}$

※ ${}_n \mathrm{C}_0=1、{}_n \mathrm{C}_1=n、{}_n \mathrm{C}_{n-k}={}_n \mathrm{C}_k$

二項分布について

二項定理

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n&=&\sum_{k=0}^n{}_n \mathrm{C}_ka^{n-k}b^k　\\ &=&a^n+{}_n \mathrm{C}_1a^{n-1}b+{}_n \mathrm{C}_2a^{n-2}b^2+\cdots+b^n　\\ \end{eqnarray*}$

二項分布を二項定理で考える

$\begin{eqnarray*} P(X=x)&=&{}_n \mathrm{C}_xp^x(1-p)^{n-x}　(x=0,1,2,\cdots,n) \\ \end{eqnarray*}$

＜上式の確率の和＞

$\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_n \mathrm{C}_xp^x(1-p)^{n-x}=\{p+(1-p)\}^n=1$

階乗『』

順列【Permutation】『』

組合せ【Combination】『』