統計学：総和『Σ』数学 - まぬねこの足跡。。。

総和【summation】『(シグマ)』

総和【summation】『 $\sum$ (シグマ)』

$\displaystyle \sum_{i=1}^n=x_1+\cdots+x_n$

性質

$x_1=\cdots=x_n=a$ のとき･･･全部同じ値

$\displaystyle \sum_{i=1}^na=na$

$\displaystyle \sum_{i=1}^n(\color{red}{c}x_i)=\color{red}{c}\sum_{i=1}^n(x_i)$ 　･･･ $\color{red}{c}$ を外にだせる

$x_1=y_i+z_i$ のとき･･･2つの数の和

$\displaystyle \sum_{i=1}^n(\color{red}{y_i}+\color{green}{z_i})=\sum_{i=1}^n\color{red}{y_i}+\sum_{i=1}^n\color{green}{z_i}$ 　･･･別々に和をとり、加算。

$\displaystyle \sum_{i=1}^n(\color{red}{ay_i}+\color{green}{bz_i})=\color{red}{a}\sum_{i=1}^n\color{red}{y_i}+\color{green}{b}\sum_{i=1}^n\color{green}{z_i}$ 　･･･別々に和をとり、加算。

分散の平方和

$\displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i+\overline{x})^2=\sum_{i=1}^n x_i^2-n\overline{x}^2$

＜式＞
$\begin{eqnarray*} \displaystyle \sum_{i=1}^n(x_i+\overline{x})^2&=&\sum_{i=1}^n(x_i^2\color{red}{-2\overline{x}}x_i+\overline{x}^2) \\ &=&\sum_{i=1}^n x_i^2+\sum_{i=1}^n (\color{red}{-2\overline{x}})x_i+\sum_{i=1}^n\overline{x}^2 \\ &=&\sum_{i=1}^n x_i^2\color{red}{-2\overline{x}}\color{cyan}{\sum_{i=1}^n x_i}+\sum_{i=1}^n\overline{x}^2 \\ &=&\sum_{i=1}^n x_i^2\color{red}{-2\overline{x}}(\color{cyan}{n\overline{x}})+\color{magenta}{\sum_{i=1}^n\overline{x}^2} \\ &=&\sum_{i=1}^n x_i^2-2n\overline{x}^2+\color{magenta}{n\overline{x}^2} \\ &=&\sum_{i=1}^n x_i^2-n\overline{x}^2 \\ \end{eqnarray*}$

１次式「 $y=a+bx$ 」⇒「最小二乗法」にする

下式を最小にする $a、b$ を求める。
$\begin{eqnarray*} S(a,b)&=&\sum(y_i-a-bx_i)^2&=&(y_1-a-bx_1)^2+\cdots+(y_n-a-bx_n)^2 \\ \end{eqnarray*}$

1. $a$ に関する平方完成

$\begin{eqnarray*} S(a,b)&=&\sum\{(y_i-bx_i)-a\}^2　\\ &=&\sum a^2 -2\sum a(y_1-a-bx_1)+\sum(y_i-bx_i)^2　\\ &=&na^2-2\sum a(y_1-a-bx_1)+\sum(y_i-bx_i)^2　\\ &=&n\{a^2-2a(\overline{y}-b\overline{x}\}+\sum(y_i-bx_i)^2　\\ &=&n\{a-(\overline{y}-b\overline{x})\}^2+\color{red}{\sum(y_i-bx_i)^2-n(\overline{y}-b\overline{x})^2}　\\ \end{eqnarray*}$
※ $aの値「a= \overline{y}-b\overline{x}」$

2. $R(b)=\color{red}{\sum(y_i-bx_i)^2-n(\overline{y}-b\overline{x})^2}$ を変形

$x_i：「w_i=y_i-bx_i 」 ⇒ 「\overline{w}=\overline{y}-b\overline{x}」$ から
$\begin{eqnarray*} R(b)&=&\sum w_i^2 - n\overline{w}^2 \\ &=&\sum(w_i-\overline{w})^2 \\ &=&\sum \{(y_i - bx_i) - (\overline{y} - b\overline{x)}\}^2　\\ &=&\sum\{(y_i -\overline{y})-b(x_i-\overline{x})\}^2 \\ R(b)&=&\color{cyan}{\sum(y_i -\overline{y})^2}-2b\color{magenta}{\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}+b^2\color{blue}{\sum(x_i-\overline{x}) ^2} \\ &=&\color{red}{n}(\color{cyan}{s_y^2} - 2b\color{magenta}{s_{xy}} + b^2\color{blue}{s_x^2}) \end{eqnarray*}$

ちょこっとメモ

$x,yの分散。共分散$

$x,ｙの分散：\color{blue}{s_x^2＝\frac{\sum (x_i - \overline{x})^2}{\color{red}{n}}}, \color{cyan}{s_y^2＝\frac{\sum (y_i - \overline{y})^2}{\color{red}{n}}}$
$x,ｙの共分散：\color{magenta}{s_{xy}＝\frac{\sum (x_i - \overline{x})(y_i - \overline{y})}{\color{red}{n}}}$

3. $R(b)で、b$ に関する平方完成

$\begin{eqnarray*} \frac{R(b)}{\color{red}{n}}&=&\color{blue}{s_x^2}(b^2-2\frac{\color{magenta}{s_{xy}}}{\color{blue}{s_x^2}})+\color{cyan}{s_y^2} \\ &=&\color{blue}{s_x^2}(b-\frac{\color{magenta}{s_{xy}}}{\color{blue}{s_x^2}})^2+\color{cyan}{s_y^2}-(\frac{\color{magenta}{s_{xy}}}{s_x})^2 \\ \end{eqnarray*}$

4. 結論

$S(a,b)$ の最小は、 $b=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}, 「a= \overline{y}-b\overline{x}」$

総和【summation】『(シグマ)』

性質

のとき･･･全部同じ値

のとき･･･2つの数の和

分散の平方和

１次式「」⇒「最小二乗法」にする

1. に関する平方完成

2. を変形

3. に関する平方完成