統計学：位置の代表値 - まぬねこの足跡。。。

代表値【measure of central tendency】
位置の代表値
位置の代表値の大小関係
度数分布表からの平均値

代表値【measure of central tendency】

位置の代表値：量的変数で、分布の中心的位置を表す（数値）尺度。

平均値
中央値
最頻値

散らばりの代表値：観測値のちらばりの尺度。

分散
標準偏差
平均偏差
範囲
四分位範囲

位置の代表値

平均値【mean】『 $\overline{x}$ 』

種類：
- 算術平均（相加平均）
- 幾何平均（相乗平均）
- 調和平均
- トリム平均（刈り込み平均）など

＜Good＞

比較的意味をとらえやすい。
計算が容易。
山一つ左右対称の分布 $=$ 平均値は中心的位置。

＜Bad＞

外れ値の影響を受けやすい。
山一つ左右対称の分布でない $\neq$ 平均値は中心的位置。

ちょこっとメモ

平均【average】と【mean】

統計では、別意味となっている。
【average】：分布の中心的位置を表す数値（尺度）。中央値、最頻値、平均
【mean】：平均値

算術平均【arithmetric mean】（相加平均）

各観測値が同じ重要度のとき
※ $n$ ：観測値の数（サンプルサイズ）※ $x_i$ ：各観測値の値

$\displaystyle \overline{x}=\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n {x_i}$

＜式＞
$\begin{eqnarray*} \overline{x} &=& \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}　 \left(=\dfrac{観測値合計}{観測値の個数}\right)\\ &=&\dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^n {x_i} \\ \end{eqnarray*}$

幾何平均【geometric mean】（相乗平均）

時間に応じて変化する変化率（比率）の平均値
※ $n$ ：観測値（変化率）の数（サンプルサイズ）※ $x_i$ ：各観測値の値

$\displaystyle\overline{x}_G=\left(\prod_{i=1}^n{x_i}\right)^\frac{1}{n}$

＜式＞
$\begin{eqnarray*} \overline{x}_G&=&\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}　 \left(=\sqrt[n]{観測値の総積}\right)\\ &=& \left(\prod_{i=1}^n{x_i}\right)^\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

調和平均【Harmonic mean】

速度・レート（率）の平均値
※ $n$ ：観測値（率）の数（サンプルサイズ）※ $x_i$ ：各観測値の値

$\displaystyle\overline{x}_H=\dfrac{n}{\sum_{i = 1}^n\frac{1}{x_i}}$

＜式＞
$\begin{eqnarray*} \overline{x}_H&=&\dfrac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}　 \left(=\frac{n}{\frac{1}{率}の総和}\right)\\ &=& \dfrac{n}{\sum_{i = 1}^n\frac{1}{x_i}} \end{eqnarray*}$

トリム平均【Trimmed mean】、刈り込み平均

観測値を昇順（降順）にし、上位と下位から一定の個数（割合）を除外した観測値の平均値
極端な値や外れ値の影響を軽減
※ $n$ ：観測値（率）の数（サンプルサイズ）※ $x_i$ ：各観測値の値

$\overline{x}_k=\dfrac{1}{n-2k}\displaystyle \sum_{i = 1+k}^{n-k}{x_i}$

中央値【median(メディアン)】、中位数、メジアン『 $M$ 』

$M=Q_2$ （第２四分位数）

＜Good＞

外れ値の影響を受けない。

最頻値【mode(モード)】

観測値が起こる頻度が最も高い値。度数分布表を作成し、度数の最も多い値。複数もあり得る。

位置の代表値の大小関係

＜分布の傾向＞
左図：左に裾＋一山、中央図：左右対称＋一山、右図：右に裾＋一山

度数分布表からの平均値

※ $m_i$ ：各階級値　※ $f_i$ ：各度数　※ $N$ ：各度数の合計

$\displaystyle \overline{x}=\sum_{i = 1}^k\left(\dfrac{f_k}{N}\right)x_k$

＜式＞
$\begin{eqnarray*} \overline{x} &=& \dfrac{m_1f_1 + m_2f_2 + \cdots + m_kf_k}{N}　 \left(=\dfrac{（各階級値×各度数）総和}{各度数の合計}\right)\\ &=&\dfrac{1}{N}\sum_{i = 1}^k {m_ix_i} \\ &=&\sum_{i = 1}^k\left(\dfrac{f_k}{N}\right)x_k　 \left(=総和\{相対度数×階級値\}\right)\\ \end{eqnarray*}$

度数分布表の例
階級
以上		未満	階級値	度数	相対度数(%) （度数÷総階級値）	累積相対度数(%)
250	~	300	275	1	1÷32×100=3.1	3.1
300	~	350	325	0	0÷32×100=0.0	3.1
350	~	400	375	2	2÷32×100=6.3	9.4
400	~	450	425	3	3÷32×100=9.4	18.8
450	~	500	475	2	2÷32×100=6.3	25.1
500	~	550	525	5	5÷32×100=15.6	40.7
550	~	600	575	11	11÷32×100=34.4	75.1
600	~	650	625	7	7÷32×100=21.9	97.0
650	~	700	675	1	1÷23×100=3.1	100.0約100.0
合計				32	約100.0	ー